Quadrature

Nom commun - français

quadrature \kwa.d?a.ty?\ féminin

1. (Mathématiques) Calcul d'une aire.
   • En plus de sa machine arithmétique, la première contribution importante de Leibniz aurait été, aux yeux de Huygens, la quadrature arithmétique du cercle, dont Leibniz avait rédigé le premier brouillon en octobre 1674. ? (Javier Echeverría, en préface de : Gottfried Wilhelm Leibniz, La caractéristique géométrique, Vrin, 1995, p.27)
2. (Astronomie) Position d'une planète ou d'une lune lorsque l'angle du Soleil, de la Terre, et celle-ci vaut 90°.
   • Au premier et au troisième quartier, la lune est en quadrature avec le soleil.
3. (Physique) Déphasage d'un quart de période dans lequel sont deux grandeurs sinusoïdales de même période.
   • Les récepteurs récents utilisent le discriminateur à coïncidence aussi appelé détecteur à quadrature ou détecteur synchrone. ? (Robert Du Bois, Structure et applications des émetteurs et des récepteurs, Presses universitaires romandes, 1995, page 163)
   • D'autre part, la réponse impulsionnelle du filtre de quadrature correspond à un cas de filtre RIF à phase linéaire mentionné au paragraphe 5.2. ? (Maurice Bellanger, Traitement numérique du signal , 9^eéd., Dunod, 2012, p.283)
4. (Horlogerie) Variante de cadrature.

• 1 Terme de géométrie. Réduction géométrique d'une figure curviligne à un carré équivalent en surface. Comme les médiocres géomètres ont souvent le malheur de trouver la quadrature exacte du cercle refusée aux autres et qu'ils ne manquent pas d'apporter à l'Académie leurs magnifiques assertions, M. de Lagny les réprimait dans le moment en leur faisant voir, par le moyen de ses séries, des quadratures plus exactes que les leurs et plus exactes à l'infini, Fontenelle, Lagny. Lorsque Newton eut trouvé l'expression de la rectification générale des courbes, il vit avec indifférence paraître l'ouvrage où Mercator donna la quadrature particulière de l'hyperbole, Bailly, Hist. astr. mod. t. II, p. 576.

  Fig. C'est la quadrature du cercle, se dit d'une chose impossible à trouver.

• 2 Terme d'astronomie. Aspect de deux astres éloignés l'un de l'autre de 90 degrés. M. Ulloa? assure que, dans un canton de l'Amérique méridionale, il a plusieurs fois observé, mangé des écrevisses qui toutes étaient constamment plus charnues dans la pleine lune et plus chétives dans les quadratures, Voltaire, Phil. Newt. singul. nat. 28. La lune étant en quadrature, elle se trouve au zénith lorsque le soleil est à l'horizon, Bailly, Hist. astr. mod. t. II, p. 532. La marée composée est la plus petite, quand la pleine mer relative à l'un des astres coïncide avec la basse mer relative à l'autre?; ce qui produit les petites marées vers les quadratures, Laplace, Exp. IV, 11.

QUADRATURE, s. f. terme de Géométrie ; maniere de quarrer ou de réduire une figure en un quarré, ou de trouver un quarré égal à une figure proposée.

Ainsi la quadrature d'un cercle, d'une parabole, d'une ellipse, d'un triangle, ou autre figure semblable, consiste à faire un quarré égal en surface à l'une ou à l'autre de ces figures. Voyez Cercle. &c.

La quadrature des figures rectilignes est du ressort de la Géométrie élémentaire ; il ne s'agit que de trouver leurs airs ou superficie, & de la transformer en un parallelogramme rectangle.

Il est facile ensuite d'avoir un quarré égal à ce rectangle, puisqu'il ne faut pour cela que trouver une moyenne proportionnelle entre les deux côtés du rectangle. Voyez Aire, Quarré. Voyez aussi les méthodes particulieres de trouver les superficies de ces figures aux mots Triangle, Parallelogramme, Trapese, &c.

La quadrature des courbes, c'est-à-dire la maniere de mesurer leur surface, ou de trouver un espace rectiligne égal à un espace curviligne, est une matiere d'une spéculation plus profonde, & qui fait partie de la Géométrie sublime. Archimede paroît être le premier qui ait donne la quadrature d'un espace curviligne, en trouvant la quadrature de la parabole.

Quoique la quadrature des figures, sur-tout celle du cercle, ait été l'objet de l'application des plus fameux mathématiciens de l'antiquité, on peut dire qu'on n'a rien fait de considérable sur cette matiere, que vers le milieu du dernier siecle ; savoir en 1657, que MM. Neil & Brounker, & après eux M. Christophle Wren, ont trouvé les moyens de démontrer géométriquement l'égalité de quelques espaces curvilignes courbes, avec des espaces rectilignes.

Quelques tems après, plusieurs géometres, tant anglois que des autres nations, firent les mêmes tentatives sur d'autres courbes, & réduisirent le probleme au calcul analytique. Mercator en publia pour la premiere fois l'essai en 1688, dans une démonstration de la quadrature de l'hyperbole de milord Brownker, dans laquelle il se servit de la méthode de Wallis pour réduire une fraction en une suite infinie par le moyen de la division.

Il paroît cependant, pour le dire en passant, que M. Newton avoit deja découvert le moyen de trouver la quadrature des courbes par sa méthode des fluxions, avant l'année 1668. Voyez Fluxion.

Messieurs Christophe Wrend & Huyghens se disputent la gloire d'avoir découvert la quadrature d'une portion de la cycloïde. M. Leibnitz découvrit ensuite celle d'une autre portion ; & en 1699. M. Bernoulli découvrit celle d'une infinité de segmens & de secteurs de cycloïde. Voyez les mém. de l'acad. de 1699.

Quadrature du cercle, est la maniere de trouver un quarré égal à un cercle donné. Ce probleme a occupé inutilement les mathématiciens de tous les siecles. Voyez Cercle.

Il se réduit à déterminer le rapport du diametre à la circonférence, ce qu'on n'a pu faire encore jusqu'ici avec précision.

Si ce rapport étoit connu, on auroit aisément la quadrature du cercle, puisqu'il est démontré que sa surface est égale à celle d'un triangle rectangle qui a pour hauteur le rayon du cercle, & pour base une ligne égale à sa circonférence. Il n'est donc besoin pour quarrer le cercle que de le rectifier. Voyez Circonference & Rectification.

Le probleme de la quadrature du cercle consiste proprement dans l'alternative de trouver cette quadrature ou de la démontrer impossible. La plûpart des géometres n'entendent par quadrature du cercle que la premiere partie de cette alternative ; cependant la seconde resoudroit parfaitement le problême. M. Newton a déja démontré dans le premier livre de ses principes mathématiques, sect. VI. tom. XXVIII. que la quadrature indéfinie du cercle, & en général de toute courbe ovale, étoit impossible, c'est-à-dire qu'on ne pouvoit trouver une méthode pour quarrer à volonté une portion quelconque de l'aire du cercle ; mais il n'est pas encore prouvé qu'on ne puisse avoir la quadrature absolue du cercle entier. Si on avoit le rapport du diametre à la circonférence, on auroit, comme on l'a déja dit, la quadrature du cercle, d'où il suit que pour quarrer le cercle il suffit de le rectifier, ou plutôt que l'un ne peut se faire sans l'autre. Il n'y a point de courbe qui réellement & en elle-même ne soit égale à quelque ligne droite, car il n'y en a point que l'on ne puisse concevoir exactement enveloppée d'un fil, & puis développée ; mais il faut pour les géometres que ce qu'ils connoissent de la nature de la courbe puisse leur servir à trouver cette ligne droite, ou ce qui revient au même, il faut que cette ligne soit renfermée dans des rapports connus, de maniere à pouvoir elle-même être exactement connue. Or quoiqu'elle y soit toujours renfermée, elle ne l'est pas toujours de la maniere dont nous aurions besoin ; au-delà d'un certain point qui n'est pas même fort éloigné, nos lumieres nous abandonnent & aboutissent à des ténebres.

Ceux qui desireront un plus grand détail sur la quadrature du cercle, peuvent avoir recours à l'ouvrage que M. Montucla a publié en 1754. sur ce sujet, sous le titre d'histoire des recherches sur la quadrature du cercle. Ils y trouveront un recit fidele, savant & raisonné des travaux des plus grands géometres sur cette matiere, & ils y apprendront à se prémunir contre les promesses, les jactances & les inepties des quadrateurs. Une de leurs principales prétentions est de croire que le problème de la quadrature du cercle est fort important pour les longitudes ; en quoi ils se trompent grossierement, ces deux problêmes n'ayant aucun rapport.

Plusieurs géometres ont approché fort près de ce rapport. Archimede paroît avoir été un des premiers qui ont tenté de la decouvrir, & a trouvé par le moyen des polygones réguliers de 96 côtés inscrits & circonscrits au cercle, que ce rapport est comme 7 à 22. Voyez Polygone.

Quelques-uns des modernes ont approché beaucoup plus près, sur-tout Ludolphe de Ceulen qui a trouvé après des calculs infinis, qu'en supposant que ce diametre soit 1, la circonference est plus petite que 3. 14159265358979323846264338387950 ; mais plus grande que ce même nombre en mettant l'unité pour dernier chifre.

Les géometres ont encore eu recours à d'autres moyens, sur-tout à des especes de courbes particulieres qu'on appelle quadratrices ; mais comme ces courbes sont méchaniques ou transcendantes, & non point géométriques, elle ne satisfait point exactement à la solution du problème. Voyez Transcendant, Méchanisme & Quadratrice.

On a donc employé à l'analyse, & tenté de resoudre ce problème par plusieurs méthodes différentes, & principalement en employant certaines séries qui donnent la quadrature approchée du cercle par une progression de termes. Voyez Série ou Suite.

En cherchant par exemple une ligne droite égale à la circonférence d'un cercle, on trouve en supposant pour le diametre, que la circonférence doit être ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}{\frac {+4}{9}}}$ &c. qui forment une suite infinie de fractions dont le numérateur est toujours 4, & dont les dénominateurs sont dans la suite naturelle des nombres inégaux ; & tous ces termes sont alternativement trop grands & trop petits.

Si l'on pouvoit trouver la somme de cette suite, on auroit la quadrature du cercle ; mais on ne l'a point encore trouvée, & il y a même apparence qu'on ne la découvrira de long-tems. On n'a point cependant démontré que la chose soit impossible, ni par conséquent que la quadrature du cercle le soit aussi.

D'ailleurs comme on peut exprimer la même grandeur par différentes séries, il peut se faire aussi que l'on puisse exprimer la circonférence d'un cercle par quelque autre série dont on puisse trouver la somme. Nous avons deux suites infinies qui expriment la raison de la circonférence au diametre, quoique d'une maniere indéfinie. La premiere a été découverte par M. Newton, qui a trouvé, en supposant pour le rayon, que le quart de la circonférence est ${\displaystyle \scriptstyle 1-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{40}}-{\frac {1}{112}}}$, &c. La seconde est de M. Léibnitz, qui trouve de même que le rayon étant l'arc de 45 degrés, est la moitié de ${\displaystyle \scriptstyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}}$, &c. Voici la maniere de trouver chacune de ces séries par le calcul intégral ; on la doit à M. Newton.

Quadrature du cercle par M. Newton. Soit le rayon du cercle ${\displaystyle \scriptstyle AC=1}$ (Planch. d'anal. fig. 24.) ${\displaystyle \scriptstyle CP=x}$, ${\displaystyle \scriptstyle y={\sqrt {(}}{1-x^{2}})}$, & ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {(}}{1-x^{2}})=1-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{4}-{\frac {1}{16}}x^{6}-{\frac {1}{128}}x^{8}-{\frac {1}{256}}x^{1}0}$, &c. à l'infini. Voyez Binome. Donc ${\displaystyle \scriptstyle PpmMouudx=dx-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{4}dx-{\frac {1}{16}}x^{6}dx-{\frac {1}{128}}x^{8}dx-{\frac {1}{256}}x^{1}0dx-}$ &c, à l'infini.

Et ${\displaystyle \scriptstyle sydx=x-{\frac {1}{6}}x^{3}-{\frac {1}{40}}x^{5}-{\frac {1}{112}}x^{7}-{\frac {1}{1152}}x^{9}-{\frac {1}{1816}}x^{1}1}$ à l'infini.

Lorsque x devient égal au rayon CA, l'espace DCPM se change en un quart de cercle. Substituant donc 1 à x, le quart de cercle sera ${\displaystyle \scriptstyle sydx=1-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{40}}-{\frac {1}{112}}-{\frac {1}{1152}}-{\frac {1}{1816}}}$, &c. à l'infini. Cette même série peut servir à mesurer la surface entiere du cercle, en supposant son diametre = 1.

Quadrature du cercle par M. Léibnitz. Soit la tangente KB (Pl. d'analyse fig. 25.) = x, BC = 1 ; la secante AC infiniment proche de CK ; décrivez avec le rayon CK le petit arc KL : vous aurez AK = dx, ${\displaystyle \scriptstyle KC={\sqrt {(}}{1+x^{2}})}$. Maintenant puisque les angles B & L sont droits, & l'angle BKC = KAC, à cause de la petitesse infinie de l'angle KCL, nous aurons KC : BC :: KAKL, c'est-à-dire

${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {(1+x^{2})}}:1::dx:{\frac {dx}{\sqrt {(1+x^{2})}}}}$

De plus, CK : KL :: CM : mM ; c'est-à-dire

${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {(1+x^{2})}}}$ : ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {dx}{\sqrt {(1+x^{2})}}}}$ :: 1 :: ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {dx}{1+x^{2}}}}$

Donc le secteur ${\displaystyle \scriptstyle CMm={\frac {1}{2dx}}:(1+x^{2})={\frac {1}{2}}(dx-x^{2}dx+x^{4}dx-x^{6}dx+x^{8}dx-x^{10})}$ &c. & l'on trouve, par le calcul intégral, le secteur BCM (dont la tangente KB est x) ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {1}{10}}x^{5}-{\frac {1}{14}}x^{7}+{\frac {1}{18}}x^{9}-{\frac {1}{22}}x^{1}2}$ &c. & ainsi à l'infini. C'est pourquoi si BM est la huitieme partie du cercle ou un arc de 45^d. le secteur sera ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}{\frac {-1}{6}}+{\frac {1}{2}}{\frac {-1}{14}}}$ &c. à l'infini. Donc le double de cette série ${\displaystyle \scriptstyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}}$ &c. à l'infini, est le quart de cercle.

Quadrature des lunules. Quoiqu'on n'ait point encore trouvé jusqu'ici la quadrature parfaite du cercle entier, on a cependant découvert les moyens de quarrer plusieurs de ses portions. Hippocrate de Chio est le premier qui ait quarré une portion du cercle à qui sa figure a fait donner le nom de lunule. Voyez Lunule.

Cette quadrature ne dépend point de celle du cercle ; mais aussi ne s'étend-elle que sur la lunule entiere ou sur sa moitié.

Quelques géometres modernes ont cependant trouvé la quadrature d'une portion de la lunule à volonté, indépendamment de celle du cercle ; mais elle est toujours sujette à certaine restriction, qui empêche que la quadrature ne soit parfaite, ou, pour me servir du langage des Géometres, absolue & indéfinie.

M. le Marquis de l'Hopital a donné en 1701 une nouvelle maniere de quarrer les parties de la lunule prises en différentes manieres & sous différentes conditions ; mais elle est sujette aux mêmes imperfections que les autres.

Quadrature de l'ellipse. L'ellipse est une courbe dont on n'a point encore trouvé la quadrature exacte ; ce qui oblige d'avoir recours à une série. Soit AC (Planc. anal. fig. 26.) = a, GC = C, PC = x, on aura

${\displaystyle \scriptstyle y^{2}=c^{2}({a^{2}-x^{2}}):a^{2}}$

${\displaystyle \scriptstyle y=c{\sqrt {(}}{x^{2}-x^{2})}):a}$

mais ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {(}}{a^{2}-x^{2}})=a-{\frac {x^{2}-x^{4}-x^{6}+5x^{8}-7x^{1}0}{2a\ 8a^{3}\ 16a^{5}\ 128a^{7}\ 256a^{9}}}}$ < à l'infini. Donc ${\displaystyle \scriptstyle ydx=cdx\times {\frac {cx^{2}dx}{2a^{2}}}-{\frac {cx^{4}dx}{8a^{4}}}-{\frac {cx^{6}dx}{16x^{6}}}-{\frac {5dx^{8}cv}{128a^{2}}}-{\frac {7cx^{1}0dx}{256a^{1}0}}}$, &c. à l'infini.

Si l'on substitue a au lieu de x, le quart de l'ellipse sera ${\displaystyle \scriptstyle ac-{\frac {1}{6}}ac-{\frac {1}{40}}ac-{\frac {5}{112}}ac-{\frac {5}{1132}}ac-{\frac {7}{1810}}ac}$, &c. à l'infini.

Il suit de là 1°. que si on fait ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {a}}c=1}$, l'aire de l'ellipse sera ${\displaystyle \scriptstyle -{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{40}}-{\frac {1}{112}}-{\frac {5}{1152}}-{\frac {7}{1810}}}$, &c. à l'infini. D'où il est évident qu'une ellipse est égale à un cercle dont le diametre est moyen proportionnel entre les axes conjugués de cette même ellipse. 2°. Qu'une ellipse est à un cercle dont le diametre est égal au grand axe, comme ac à a² ; c'est à-dire comme c à a, ou comme le petit axe est au grand. D'où il suit que la quadrature du cercle donne celle de l'ellipse ; & au contraire.

Quadrature de la parabole. Soit ${\displaystyle \scriptstyle ax=y^{2}}$ l'équation de la parabole, donc ${\displaystyle \scriptstyle y={\sqrt {a}}x=a^{\frac {1}{2}}x^{\frac {1}{2}}}$ : donc ${\displaystyle \scriptstyle ydx=axdx}$. Donc ${\displaystyle \scriptstyle sydx={\frac {1}{2}}a^{1:2}x^{3:1}={\frac {1}{3}}{\sqrt {ax^{3}={\frac {1}{3}}xy}}}$.

D'où il suit que l'espace parabolique est au rectangle de la demi-ordonnée par l'abscisse comme ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{3}}xy}$ à xy, c'est-à-dire comme 2 à 3.

Si la courbe n'étoit point décrite, & que l'on n'eût que son équation, en sorte que l'on ne sût point où l'on doit fixer l'origine de x, on feroit x = 0 dans l'intégrale ; & effaçant tout ce qui est multiplié par x, on ajouteroit le restant, supposé qu'il y en eût, avec un signe contraire, & l'on auroit la quadrature cherchée. Mais cela demanderoit un détail trop profond pour appartenir à cet ouvrage : on en verra un exemple à la fin de cet article.

Quadrature de l'hyperbole. Mercator de Holstein, l'inventeur des suites infinies, est le premier qui en ait donné la quadrature analytique : il trouvoit sa suite par la division ; mais MM. Newton & Léibnitz ont perfectionné sa méthode.

Maniere de quarrer l'hyperbole entre ses asymptotes, suivant la méthode de Mercator. Puisque dans une hyperbole entre ses asymptotes, ${\displaystyle \scriptstyle a^{2}=by+xy}$ ; si ${\displaystyle \scriptstyle a=b=1}$, ce que l'on peut supposer, puisque la détermination de b est arbitraire, on aura

${\displaystyle \scriptstyle 1=y+xy}$

${\displaystyle \scriptstyle 1:(1+x)=y}$

c'est-à-dire (en faisant actuellement la division)

${\displaystyle \scriptstyle y=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+x^{6}}$ &c.

${\displaystyle \scriptstyle ydx=dx=xdx+x^{2}dx-x^{3}dx+x^{4}dx-x^{5}dx+x^{6}dx}$ &c.

${\displaystyle \scriptstyle sydx=x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{6}}x^{6}+{\frac {1}{7}}x^{7}}$ &c.

à l'infini.

Quadrature de la cycloïde. On a dans cette courbe (Pl. anal. fig. 27.) AQ : QP ? MS : mS.

Soit donc ${\displaystyle \scriptstyle AQ=x}$, ${\displaystyle \scriptstyle AB=1}$, on aura ${\displaystyle \scriptstyle PQ={\sqrt {(x-xx)}}}$ & ${\displaystyle \scriptstyle mS=dx{\sqrt {(x-xx)}}:x}$. Mais il est démontré que ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {(x-xx)}}=x^{1:2}-{\frac {1}{2}}c^{3:2}-{\frac {1}{8}}x^{5:2}-{\frac {1}{10}}x^{7:2}}$ &c. à l'infini. Donc ${\displaystyle \scriptstyle dx{\sqrt {(x-xx)}}:x=}$ les numérateurs des exposans étant diminués d'une unité dans la division par x) x^{-1:2}dx - 1/2 x^{1:2}dx - 1/8 x^{3:2}dx - 1/16 x^{5:2}dx à l'infini. Donc la somme ${\displaystyle \scriptstyle 2x^{1:2}-{\frac {1}{5}}x^{3:2}-{\frac {1}{20}}x^{5:2}-{\frac {1}{56}}x^{7:2}}$ &c. à l'infini, est la demi-ordonnée de la cycloïde QM comparée à l'axe AP. D'où il suit que AMQ ou l'élément QMSq de l'espace cycloïdal ${\displaystyle \scriptstyle 2x^{1:2}dx-{\frac {1}{5}}x^{3:2}dx-{\frac {1}{20}}x^{5:2}dx-{\frac {1}{56}}x^{7:2}dx}$

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