Incommensurable

• 1 Terme d'arithmétique et de géométrie. Se dit de deux quantités qui n'ont point de commune mesure. La racine carrée de 2 est incommensurable avec l'unité, ou, plus simplement, est incommensurable, parce qu'il n'y a pas de nombre ni entier, ni fractionnaire qui puisse l'exprimer exactement. Si l'on suppose les joueurs inégaux, on demande quel avantage le plus fort doit accorder, ou, réciproquement, l'un ayant accordé à l'autre un certain avantage, on demande de combien il est plus fort?; et il est à remarquer que souvent les avantages ou les forces sont incommensurables, de sorte que les deux joueurs ne peuvent jamais être parfaitement égalés, Fontenelle, Bernoulli.

  Par extension. Quelle raison a eue Dieu d'unir deux êtres incommensurables [l'âme et le corps], Voltaire, Newt. I, 9.

  Fig. Ces agréments de la vie sont très souvent incommensurables avec l'argent, Galiani, Correspond. t. II, p. 117.

  S. f. Les incommensurables, les racines qui ne peuvent être extraites exactement.

• 2Qui ne peut être mesuré, qui est très grand ou infini. Un espace incommensurable.

INCOMMENSURABLE, adj. (terme de Géométrie.) il se dit de deux quantités qui n'ont point de mesure commune, quelque petite qu'elle soit, pour mesurer l'une & l'autre. Voyez Commensurable, Sourd & Irrationnel.

Le côté d'un quarré est incommensurable avec sa diagonale, comme le démontre Euclides ; mais il est commensurable en puissance, parce que le quarré de la diagonale contient deux fois le quarré fait sur le côté.

On dit aussi que des surfaces sont incommensurables en puissance, lorsqu'elles ne peuvent être mesurées par aucune surface commune. (E)

On a démontré aux mots Fraction & Diviseur, que si deux nombres a, b, n'ont point de diviseur commun, autre que l'unité, leurs quarrés aa, bb, leurs cubes a³, b³, &c. & ainsi du reste, n'auront point de diviseur commun, autre que l'unité ; d'où il s'ensuit que le quarré, le cube, &c. d'une fraction ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {a}{b}}}$ est toujours une fraction ; j'entends ici par fraction toute quantité dans laquelle a ne se peut diviser exactement par b ; soit que a soit plus petit ou plus grand que b : donc tout nombre entier, comme 2, 3, 5, 6, &c. qui ne sauroit avoir pour racine quarrée un nombre entier, ne sauroit avoir pour racine quarrée un entier, plus une fraction ; donc on ne sauroit exprimer en nombre la racine quarrée de ces sortes de nombres ; ainsi la racine quarrée de 2, par exemple, est incommensurable à l'unité ; & en général on appelle incommensurable la racine du dégré m de tout nombre entier p, dont on ne peut trouver la racine du dégré m en nombres entiers ; car il est démontré que cette racine ne sauroit être exprimée par quelque nombre que ce puisse être.

A plus forte raison, les racines des incommensurables sont incommensurables, comme le seroit, par exemple, la racine de la racine de 2.

Il y a cette différence entre les incommensurables & les imaginaires, 1°. que les incommensurables peuvent se représenter par des lignes, (comme la diagonale du quarré), quoiqu'ils ne puissent s'exprimer exactement par des nombres ; au lieu que les imaginaires ne peuvent ni se représenter, ni s'exprimer. Voyez Imaginaire. 2°. Qu'on approche des incommensurables autant qu'on veut par le calcul ; voyez Approximation, ce qu'on ne peut faire des imaginaires, voyez Equation. (O)

Nom commun - français

incommensurable \??.k?.m??.sy.?abl\ féminin

1. (Mathématiques) (Vieilli) Racine qui ne peut pas être extraite exactement.

Adjectif - français

incommensurable \??.k?.m??.sy.?abl\ masculin et féminin identiques

1. (Arithmétique, Géométrie) (Vieilli) Qui n'a pas de commune mesure, en parlant de deux quantités.
   • La racine carrée de 2 est incommensurable avec l'unité.
   • Le côté d'un carré et sa diagonale sont incommensurables.
   • La circonférence et le diamètre sont incommensurables.
2. Immesurable.
   • Entre elles deux se trouve l'incommensurable différence du prévu à l'imprévu, de la force à la faiblesse. ? (Honoré de Balzac, La Femme de trente ans, Paris, 1832)
3. Qui est très grand ou infini.
   • L'idée, une fois acceptée, est inséparablement connexe d'une autre idée, celle de la condition de l'Univers sidéral, tel que nous le voyons maintenant, c'est-à-dire d'une incommensurable diffusion à travers l'espace. ? (Edgar Poe, Eureka, 1848, traduction de Charles Baudelaire, 1864)
   • Au fond d'une vallée qui semblait être d'une incommensurable profondeur, la rivière Fnjóská dessinait un ruban argenté sous un dôme de noirs nuages. ? (Jules Leclercq, La Terre de glace, Féroë, Islande, les geysers, le mont Hékla, Paris : E. Plon & Cie, 1883, page 83)
   • Beaucoup d'entre eux avaient pour principal moteur leur incommensurable orgueil, et ils s'imaginaient que, leur nom devant briller d'un singulier éclat dans les annales de l'humanité, ils pouvaient acheter cette gloire future par quelques sacrifices. ? (Georges Sorel, Réflexions sur la violence, Chap.VII, La morale des producteurs, 1908, page 328)
   • April avait vingt et un ans, trois ans de plus que moi. Il me semblait que c'était une différence incommensurable. ? (Philippe Labro, L'étudiant étranger, Gallimard, 1986, page 113)
   • Mais pour la première fois, au moment de noter ou de taper sur le clavier, il n'y avait rien d'autre qu'une immense fatigue ou un incommensurable découragement. ? (Delphine de Vigan, Rien ne s'oppose à la nuit, J.-C. Lattès, 2011)
4. (Mathématiques) Dont le rapport est irrationnel.